Вопросы для подготовки к экзамену по тфкп

Вопросы для подготовки к экзамену для студентов гр. АК3-41 2 курс 4 семестр

1.  Комплексное переменное, комплексная плоскость. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Арифметические действия над комплексными числами. Возведение в n-ую степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

2.  Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности комплексных чисел. Связь с пределами последовательностей, составленных из действительной и мнимой частей. Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана.

3.  Функции комплексного переменного. Определение и геометрическая интерпретация.

4.  Предел функции комплексного переменного. Связь с пределами действительной и мнимой частей функции комплексного переменного. Непрерывность функции комплексного переменного.

5.  Элементарные функции комплексного переменного ex, cos z, sin z, ch z, sh z. Логарифмическая функция. Обратные тригонометрические и гиперболические функции. Обобщенные степенная и показательная функции.

6.  Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями. Вычисление значений элементарных функций.

7.  Производная и дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана – необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного (с выводом). Условия Коши-Римана в полярных координатах (с выводом). Регулярность функции в точке и в области.

8.  Правила дифференцируемости функций комплексного переменного.

9.  Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Понятие о конформном отображении.

10.  Интеграл от функции комплексного переменного. Определение, формула для вычисления и сведение к определенному интегралу. Свойства интеграла от функции комплексного переменного.

11.  Гармонические функции, их связь с регулярными. Сопряженные гармонические функции. Восстановление регулярной функции по ее действительной или мнимой части.

12.  Интегральная теорема Коши (с доказательством) для односвязной и многосвязной области.

13.  Независимость от пути интегрирования интеграла от регулярной функции комплексного переменного. Интеграл с переменным верхним пределом. Неопределенный интеграл от функции комплексного переменного. Формула Ньютона-Лейбница.

14.  Интегральная формула Коши (с выводом). Формула для n-ой производной от регулярной функции.

15.  Следствия из интегральной формулы Коши: неравенство Коши, теорема о среднем для регулярных и гармонических функций, теорема Лиувилля и теорема Мореры. Принцип максимума модуля регулярной функции.

16.  Комплексные числовые ряды, абсолютная и условная сходимость. Связь сходимости комплексных рядов и сходимости рядов, составленных из действительной и мнимой частей членов комплексных ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий Коши сходимости комплексных ряда.

17.  Степенные ряды. Теорема Абеля (с доказательством). Круг сходимости комплексных степенные рядов, интервал сходимости действительных степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда.

18.  Функциональный ряд, его область сходимости. Абсолютная и равномерная сходимость. Необходимый признак сходимости и равномерной сходимости функционального ряда. Критерий Коши сходимости и равномерной сходимости функционального ряда.

19.  Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда (с доказательством). Признак Абеля – Дирихле равномерной сходимости функционального ряда (без доказательства).

20.  Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов (с доказательством): непрерывность суммы, почленный предельный переход, почленное интегрирование и дифференцирование.

21.  Свойства равномерно сходящихся комплексных функциональных рядов (с доказательством): регулярность суммы ряда регулярных функций, равномерная сходимость ряда из произведения членов двух рядов, один из которых сходится равномерно, а члены другого ограничены в совокупности.

22.  Изолированные особые точки функции комплексного переменного. Разложение функции, регулярной в кольце, в ряд Лорана. Формула для коэффициентов ряда Лорана.

23.  Разложение функции, регулярной в круге, в ряд Тейлора. Формулы для коэффициентов ряда Тейлора. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды. Формула Эйлера.

24.  Классификация изолированных особых точек функции комплексного переменного по значению предела функции в этих точках. Связь типа особой точки с видом лорановского разложения функции в окрестности данной особой точки.

25.  Бесконечно удаленная точка как изолированная особая. Классификация изолированных бесконечно удаленных особых точек по значению предела функции в этих точках. Связь типа изолированной бесконечно удаленной особой точки с видом лорановского разложения функции в окрестности данной особой точки.

26.  Вычет функции в изолированной особой точке (конечной). Связь вычета с одним из коэффициентов ряда Лорана. Вычет функции в устранимой (конечной) особой точке.

27.  Нули регулярной функции комплексного переменного. Порядок нуля. Связь нулей и полюсов.

28.  Формулы для вычисления вычета в полюсе первого порядка, в полюсе n-ого порядка (с выводом).

29.  Вычет функции в бесконечно удаленной точке. Связь этого вычета с одним из коэффициентов ряда Лорана.

30.  Теорема Коши о связи интеграла от функции комплексного переменного и вычетов этой функции (с доказательством). Теорема о сумме вычетов (с доказательством).

31.  Ряды Фурье и коэффициенты Фурье. *Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.

32.  Вычисление некоторых определенных интегралов от тригонометрических функций. Ортогональность системы тригонометрических функций.

33.  Тригонометрический ряд. Ряды Фурье и коэффициенты Фурье. Условия Дирихле сходимости ряда Фурье.

34.  Разложение функции в ряд Фурье и коэффициенты Фурье на отрезках и . Случаи четных и нечетных функций.

35.  **Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье.