Сайт студентов математиков для студентов математиков!
Главная Контрольные по математике Билет по высшей математике

Билет по высшей математике

№1

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство http://www.cleverstudents.ru/theory/images/indefinite_integral_properties/001.png для любого х из заданного промежутка. функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается http://www.cleverstudents.ru/theory/images/indefinite_integral_properties/003.png.

Выражение http://www.cleverstudents.ru/theory/images/indefinite_integral_properties/004.png называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией.

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

int acdot f(x),dx=acdotint f(x),dx+C.

Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов:

int(f_1pm f_2),dx=int f_1,dxpmint f_2,dx+C.

Инвариантность формулы интегрирования: ([ᵩ(x)] = U)

int f(x),dx=F(x)+CLeftrightarrowint f[varphi(x)],d[varphi(x)]=F[varphi(x)]+C

Дифференциал от неопределённого интеграла = подынтегральному выражению, а производная = подынтегральной функции

 http://www.pm298.ru/Math/f2502.jpg http://www.pm298.ru/Math/f2503.jpg

Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции = сумме этой функции и произвольной постоянной

http://www.pm298.ru/Math/f2504.jpg http://www.pm298.ru/Math/f2505.jpg

№2

Таблица интегралов: (x заменить на u)

таблица первообразных

№3

*Непосредственное интегрирование: данный интеграл с помощь тождественных преобразований подынтегральной функции или выражения и применения свойств неопределённого интеграла приводится к табличному. При сведении интеграла к табличному часто используются операции подведения под знак дифференциала.

*Замена переменной: вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла, после решения которого возвращаемся к первоначальной переменной.

http://function-x.ru/chapter8-1/integral1_clip_image092.gif (формула замены переменной в неопределённом интеграле)

*Интегрирование по частям: Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения http://www.cleverstudents.ru/theory/images/integration_methods/037.png и последующем применении формулы интегрирования по частям: http://www.cleverstudents.ru/theory/images/integration_methods/038.png.

В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, а в качестве dv – оставшаяся частьподинтегрального выражения, содержащая dx, из которой находится v путём интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, этот метод иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата.

№4

Рациональная дробь  — отношение двух многочленов. Pm(x)Qn(x)

Рациональная дробь правильная, если m<n; неправильная, если m>=n

Общие правила интегрирования рациональных дробей:

Если дробь неправильная, нужно представить её в виде суммы многочлен + неправильная дробь (делением числителя на знаменатель). Далее раскладываем знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представляем её виде суммы простейших рациональных дробей. Потом нужно проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Интегрирование простейших дробей:

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/partial_fractions_integration/012.png 

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/partial_fractions_integration/018.png

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/partial_fractions_integration/021.png M и N заменить на A и B соответственно.

В знаменателе выделяем полный квадрат. Вводим новую переменную t=x+p2 à x=t-p2, dx=dt. Разбиваем на 2 интеграла, один из которых табличный, а второй почти табличный.

Вывод формулы:

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/partial_fractions_integration/023.png 

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала: 

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/partial_fractions_integration/024.png 
Поэтому, 
http://www.cleverstudents.ru/theory/images/partial_fractions_integration/025.png 

У полученного интеграла http://www.cleverstudents.ru/theory/images/partial_fractions_integration/026.png преобразуем знаменатель: 

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/partial_fractions_integration/027.png 

Следовательно, 

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/partial_fractions_integration/028.png 

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид: 

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/partial_fractions_integration/029.png 

№5

Вычисление интеграла вида http://www.pm298.ru/Math/f2576.jpg сводится к вычислению интеграла от рациональной функции с помощью универсальной подстановки:  http://www.pm298.ru/Math/f2577.jpg

 http://www.math24.ru/images/6int3.gif

 http://www.math24.ru/images/6int4.gif

 http://www.math24.ru/images/6int5.gif

 http://www.math24.ru/images/6int6.gif

Применяются и более простые подстановки в зависимости от свойств и вида подынтегральной функции.

 Специальные подстановки: 

1) Если R (-sin x, cos x) = — R (sin x, cos x), то рационализует подстановка cos x = t.

2) Если R (sin x, — cos x) = — R (sin x, cos x), то рационализует подстановка sin x = t.

3) Если R (-sin x, — cos x) = R (sin x, cos x), то рационализует подстановка tg x = t. Эта же подстановка применяется, если интеграл имеет вид R(tgx)dt

№6

При нахождении интегралов типа используются следующие подстановки:

Sinx=t, если n – целое, положительное, нечётное число

Cosx=t, если m – целое, положительное, нечётное число

Tgx=t, если m+n – чётное, отрицательное, целое число

Если m и n — целые, неотрицательные чётные числа, тогда используют формулы понижения порядка:

Cos2x=12(1+cos2x)

Sin2x=12(1-cos2x)

№7

Нахождения интеграла от простейших иррациональных функций типа ( где a, b,c, d – натуральные числа; α,β,γ,δ – натуральные числа). Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функциис помощью подстановки (ax+b)(cx+d)=tk , где k – наименьшее общее кратное αβ,…,δγ

№8

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/definite_integral_properties/001.png№9

Свойства определённого интеграла:

Для функции y = f(x), определенной при x = a, справедливо равенство.
То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Для интегрируемой на отрезке [a; b] функции выполняется http://www.cleverstudents.ru/theory/images/definite_integral_properties/003.png.

Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное.  

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/definite_integral_properties/004.png 

4.  Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.  http://www.cleverstudents.ru/theory/images/definite_integral_properties/009.png.

5.  http://www.cleverstudents.ru/theory/images/definite_integral_properties/014.png

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/definite_integral_properties/013.png

6.  Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b] и http://www.cleverstudents.ru/theory/images/definite_integral_properties/018.png для любого значения аргумента http://www.cleverstudents.ru/theory/images/definite_integral_properties/019.png, то http://www.cleverstudents.ru/theory/images/definite_integral_properties/020.png.

7.   

http://www.cleverstudents.ru/theory/images/definite_integral_properties/021.png 

8.  Теорема о среднем: c € [a, b],  

. Число http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/integr/htm_3/int_lek7.files/image202.gif.

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от непрерывной функции численно = площади криволинейной трапеции.

Формула Ньютона-Лейбница:

intlimits_a^b f(x)dx = Phi(b) - Phi(a) = Bigl.PhiBigl|_a^b

№11

ПлощадьКриволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции http://www.mathprofi.ru/f/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala_clip_image002.gif, осью http://www.mathprofi.ru/f/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala_clip_image004.gif и прямыми http://www.mathprofi.ru/f/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala_clip_image006.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala_clip_image008.gif:

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу http://www.mathprofi.ru/f/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala_clip_image012.gif

http://www.mathprofi.ru/f/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala_clip_image012.gif

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох, S=—

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f(x), y=g(x), такими, что f(x)<=g(x), находится по формуле:

При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями http://library.krasu.ru/ft/ft/_umkd/77/u_course/Math/Glava04/2/2.8.files/image044.gify(t)>=0, t € [t1,t2], прямыми x=a, x=b, то 

http://library.krasu.ru/ft/ft/_umkd/77/u_course/Math/Glava04/2/2.8.files/image050.gif (вместо α и β – t1, t2, вместо φ и второй фигни – x, y)

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением r=r(φ), лучами φ=α, φ=β (α<β) может быть вычислена по формуле

 http://library.krasu.ru/ft/ft/_umkd/77/u_course/Math/Glava04/2/2.8.files/image113.gif(вместо p — r)

Если криволинейная трапеция ограничена кривой х= φ (y) прямыми y=c, y=d, осью Oy то:

№10

Методы вычисления определённых интегралов:

Метод интегрирования по частям: Пусть на отрезке [a; b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x), то имеет право формула  http://function-x.ru/chapter8-4/integral4_clip_image086.gif

Метод подстановки: Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка х= φ(t), t € [t1,t2], dx= φ’(t)dt, тогда http://function-x.ru/chapter8-4/integral4_clip_image112.gif(вместо α и β – t1 и t2)

№12

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида http://rstud.ru/end15/ris/image604.gif, где http://rstud.ru/end15/ris/image605.gif — функция, определенная в некоторой области http://rstud.ru/end15/ris/image606.gif пространства http://rstud.ru/end15/ris/image607.gifhttp://rstud.ru/end15/ris/image306.gif — независимая переменная, http://rstud.ru/end15/ris/image608.gif  — функция от http://rstud.ru/end15/ris/image306.gifhttp://rstud.ru/end15/ris/image609.gif — ее производные.

Порядком уравнения называется наивысший из порядков производных http://rstud.ru/end15/ris/image608.gif, входящих в уравнение.

ДУ первого порядка: F(x, y,y’), если оно разрешено относительно y’, то оно примет вид http://rstud.ru/end15/ris/image002.gif. , т. к. y’=dydx, dy= y’dx.

dydx= f(x, y); dy=f(x, y)dx

Задача Коши для ДУ первого порядка: найти решение ДУ первого порядка, удовлетворяющее начальному условию x=x0, y=y0, т. е. найти интегральную кривую, проходящую через данную точку (x0,y0).

Общим решением дифференциальных уравнений вида http://www.cleverstudents.ru/theory/images/elementary_differential_equations/001.png является функция y = F(x) + С, определяемая в области Д, если она удовлетворяет следующим условиям:

1.  При любом значении С функция является решением уравнения F(x, y,y’)=0

2.  Для любых начальных условий (x0,y0) € Д существуют такие значения С, что существуют равенства y0=F(x0, C)

Частное решение ДУ – любое решение уравнения, которое получается из общего при конкретном значении С.

№13

(M и N заменить на P и Q)

ДУ с разделяющимися переменными:

 http://www.mathelp.spb.ru/DU/p3.files/image002.gif — ДУ с разделяющимися переменными.

http://www.mathelp.spb.ru/DU/p3.files/image006.gifРешение: Разделив на M2(x)*N1(y), получаем уравнение

 Интегрируя, получаем: http://www.mathelp.spb.ru/DU/p3.files/image072.gif http://www.mathelp.spb.ru/DU/p3.files/image008.gif +http://www.mathelp.spb.ru/DU/p3.files/image072.gif http://www.mathelp.spb.ru/DU/p3.files/image010.gif — общий интеграл

Однородные ДУ:

Функция f(x, y) называется однородной функцией степени k, если при всех t выполняется тождество http://www.mathelp.spb.ru/DU/p4.files/image004.gif. Например, функция http://www.mathelp.spb.ru/DU/p4.files/image006.gif – однородная второй степени, т. к. http://www.mathelp.spb.ru/DU/p4.files/image008.gif.

ДУ однородное, если функция f(x, y)  является однородной функцией нулевого порядка.

Однородное ДУ часто задаётся в дифференциальной форме  http://www.mathelp.spb.ru/DU/p4.files/image002.gif, где M и N – однородные функции одного порядка.

Решение: Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными с помощью подстановки: y=u*x, y’=u’+x’*u, dy=xdu+udx, u=yx

№14

http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image002.gif— линейное ДУ первого порядка

Особенности: искомая функция y и её производная y’ входят в уравнение 1 степени, не перемножаясь между собой.

Решение: Делаем замену http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image004.gif, где http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image006.gif  – функции от x

Так как http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image008.gif, то после подстановки http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image010.gifи http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image012.gif в первоначальное уравнение, получаем http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image014.gif 

Группируя члены, получаем уравнение http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image016.gif
Из равенства http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image020.gif,  http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image022.gif выведем V и подставим его в  http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image030.gif.

Пусть  http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image026.gif, тогда получим  http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image032.gif. Отсюда выведем U. http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image034.gif. Пусть  http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image036.gif, тогда функция http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image038.gif — общее решение уравнения

Дифференциальное уравнение http://www.mathelp.spb.ru/DU/p8.files/image002.gif, где http://www.mathelp.spb.ru/DU/p8.files/image004.gif — функции от http://www.mathelp.spb.ru/DU/p8.files/image006.gif определенные и непрерывные в некотором интервале http://www.mathelp.spb.ru/DU/p8.files/image008.gifhttp://www.mathelp.spb.ru/DU/p8.files/image010.gif— уравнение Бернулли.

Решение: Делаем замену http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image004.gif и  http://www.mathelp.spb.ru/DU/p6.files/image008.gifи решаем так же, как и линейное ДУ.

№15